题目内容
如图,F1,F2是离心率为
的椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左、右焦点,直线l:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M在直线l上,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点M,使以PQ为直径的圆经过点F2,若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点M,使以PQ为直径的圆经过点F2,若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)设F2(c,0),由直线l:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3,解得c=1.再由离心率为e=
,求出a=
,由此能求出椭圆C的方程.
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时,不合题意.当直线AB不垂直于x轴时,设存在点M(-
,m),m≠0,设直线AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),由
,得(x1+x2)+2(y1+y2)•
=0,推导出k=
,直线PQ的斜率为k1=-4m,由此能推导出存在两点M符合条件,坐标为M(-
,-
)和M(-
,
).
1 |
2 |
| ||
2 |
2 |
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时,不合题意.当直线AB不垂直于x轴时,设存在点M(-
1 |
2 |
|
y1-y2 |
x1-x2 |
1 |
4m |
1 |
2 |
| ||
19 |
1 |
2 |
| ||
19 |
解答:解:(Ⅰ)设F2(c,0),
∵直线l:x=-
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3,
∴
=
,解得c=1.
∵离心率为e=
,∴a=
,
∴椭圆C的方程为
+y2=1.
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时,直线AB的方程为x=-
,
此时P(-
,0),Q(
,0),
•
=-1,不合题意.
当直线AB不垂直于x轴时,设存在点M(-
,m),m≠0,
设直线AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),
由
,得(x1+x2)+2(y1+y2)•
=0,
则-1+4mk=0,故k=
,
此时,直线PQ的斜率为k1=-4m,
PQ的直线方程为y-m=-4m(x+
),即y=-4mx-m.
联立
,消去y,整理,得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.
∴x1+x2=-
,x1x2=
,
由题意
•
=0,
∴
•
=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=x1x2-(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)
=(1+16m2)x1x2+(4m2-1)(x1+x2)+1+m2
=
+
+1+m2
=
=0,
∴m=±
.
∵M在椭圆内,∴m2<
,
∴m=±
符合条件.
综上所述,存在两点M符合条件,坐标为M(-
,-
)和M(-
,
).
∵直线l:x=-
1 |
2 |
∴
c-
| ||
c+
|
1 |
3 |
∵离心率为e=
| ||
2 |
2 |
∴椭圆C的方程为
x2 |
2 |
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时,直线AB的方程为x=-
1 |
2 |
此时P(-
2 |
2 |
F2P |
F2Q |
当直线AB不垂直于x轴时,设存在点M(-
1 |
2 |
设直线AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),
由
|
y1-y2 |
x1-x2 |
则-1+4mk=0,故k=
1 |
4m |
此时,直线PQ的斜率为k1=-4m,
PQ的直线方程为y-m=-4m(x+
1 |
2 |
联立
|
∴x1+x2=-
16m2 |
32m2+1 |
2m2-2 |
32m2+1 |
由题意
F2P |
F2Q |
∴
F2P |
F2Q |
=x1x2-(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)
=(1+16m2)x1x2+(4m2-1)(x1+x2)+1+m2
=
(1+16m2)(2m2-2) |
32m2+1 |
(4m2-1)(-16m2) |
32m2+1 |
=
19m2-1 |
32m2+1 |
∴m=±
| ||
19 |
∵M在椭圆内,∴m2<
7 |
8 |
∴m=±
| ||
19 |
综上所述,存在两点M符合条件,坐标为M(-
1 |
2 |
| ||
19 |
1 |
2 |
| ||
19 |
点评:本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的点的坐标的求法.综合性强,难度大,具有一定的探索性.解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
练习册系列答案
相关题目