题目内容

如图,F1,F2是离心率为
2
2
的椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,直线l:x=-
1
2
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M在直线l上,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点M,使以PQ为直径的圆经过点F2,若存在,求出M点坐标,若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)设F2(c,0),由直线l:x=-
1
2
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3,解得c=1.再由离心率为e=
2
2
,求出a=
2
,由此能求出椭圆C的方程.
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时,不合题意.当直线AB不垂直于x轴时,设存在点M(-
1
2
,m),m≠0,设直线AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),由
x12
2
+y12=1
x22
2
+y22=1
,得(x1+x2)+2(y1+y2)•
y1-y2
x1-x2
=0
,推导出k=
1
4m
,直线PQ的斜率为k1=-4m,由此能推导出存在两点M符合条件,坐标为M(-
1
2
,-
19
19
)和M(-
1
2
19
19
).
解答:解:(Ⅰ)设F2(c,0),
∵直线l:x=-
1
2
将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:3,
c-
1
2
c+
1
2
=
1
3
,解得c=1.
∵离心率为e=
2
2
,∴a=
2

∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时,直线AB的方程为x=-
1
2

此时P(-
2
,0),Q(
2
,0),
F2P
F2Q
=-1,不合题意.
当直线AB不垂直于x轴时,设存在点M(-
1
2
,m),m≠0,
设直线AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),
x12
2
+y12=1
x22
2
+y22=1
,得(x1+x2)+2(y1+y2)•
y1-y2
x1-x2
=0

则-1+4mk=0,故k=
1
4m

此时,直线PQ的斜率为k1=-4m,
PQ的直线方程为y-m=-4m(x+
1
2
),即y=-4mx-m.
联立
y=-4mx-m
x2
2
+y2=1
,消去y,整理,得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.
x1+x2=-
16m2
32m2+1
,x1x2=
2m2-2
32m2+1

由题意
F2P
F2Q
=0,
F2P
F2Q
=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=x1x2-(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)
=(1+16m2)x1x2+(4m2-1)(x1+x2)+1+m2
=
(1+16m2)(2m2-2)
32m2+1
+
(4m2-1)(-16m2)
32m2+1
+1+m2
=
19m2-1
32m2+1
=0,
∴m=±
19
19

∵M在椭圆内,∴m2
7
8

∴m=±
19
19
符合条件.
综上所述,存在两点M符合条件,坐标为M(-
1
2
,-
19
19
)和M(-
1
2
19
19
).
点评:本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的点的坐标的求法.综合性强,难度大,具有一定的探索性.解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
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