Question

在平面直角坐标系中，点为动点，、分别为椭圆的左、右焦点．已知为等腰三角形.

（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于、两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹
方程.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）先利用平面向量的数量积确定为钝角，从而得到当时，必有，根据两点间的距离公式列有关、、的方程，求出与之间的等量关系，从而求出离心率的值；（2）先求出直线的方程，与椭圆方程联立求出交点、的坐标，利用以及、、三点共线列方程组消去，从而得出点的轨迹方程.
试题解析：（1）设椭圆的焦距为，则，，，
，，
，所以为钝角，
由于为等腰三角形，，，即，
即，整理得，即，
由于，故有，即椭圆的离心率为；
（2）易知点的坐标为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，由于，，
故椭圆的方程为，即，
将直线的方程代入椭圆方程并化简得，解得或，
于是得到点，，
（2）设点的坐标为，由于点在直线上，所以，
，
，
，
即，
整理得，即点的轨迹方程为.