Question

已知数列{a_n}的前项和为S_n，且满足Sn=

1

2

n2+

3

2

n(n≥1，n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，求使不等式Tn＞

1005

2012

成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出数列{a_n} 的通项公式．
（2）由（1）知

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此利用裂项求和法能求出n的最小值．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

n2+

3

2

n）-[

1

2

(n-1)2+

3

2

(n-1)]=n+1，…（6分）
∵a₁=2，∴an=n+1(n∈N*)．…（7分）
（2）

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，…（9分）
∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+••+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

…（11分）
又Tn＞

1005

2012

，得

n

2(n+2)

＞

1005

2012

∴n＞2010…（13分）
∴n的最小值为2011…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的灵活运用和裂项求和法的合理运用．