题目内容
(本小题满分12分) 已知椭圆
的离心率
,焦点到椭圆上的点的最短距离为
.
(I)求椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设直线
与椭圆交与M,N两点,当
时,求直线
的方程.



(I)求椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设直线



(1)
;(2)
。


(I)由e可得
,又因为
,所以可解得a,c的值,再利用
求出
,从而确定椭圆的标准方程.
(II)在(1)的基础上,直线方程与椭圆方程联立消去y,得到关于x的一元二次方程,再借助韦达定理和弦长公式可建立关于k的方程.从而解出k值,确定l的方程.
解:(1)由已知得
解之得
…………2分
则椭圆的标准方程为
…………4分
(2)设
由
得
………6分
………8分
………10分
解之得:
………11分
则直线方程为
………12分




(II)在(1)的基础上,直线方程与椭圆方程联立消去y,得到关于x的一元二次方程,再借助韦达定理和弦长公式可建立关于k的方程.从而解出k值,确定l的方程.
解:(1)由已知得


则椭圆的标准方程为

(2)设





解之得:

则直线方程为


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