题目内容
【题目】已知点A，B关于坐标原点O对称，
，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线
相切，若存在定点P，使得当A运动时，
为定值，则点P的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
设M的坐标为（x，y），然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为x2＝﹣y，把|MA|﹣|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P的坐标．
解：∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，
设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，
∵⊙M与直线2y﹣1＝0相切，∴|MA|＝|y
|，
∴|y|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2
，
整理得x2＝﹣y，
∴M的轨迹是以F（0，
）为焦点，y
为准线的抛物线，
∴|MA|﹣|MP|＝|y|﹣|MP|
＝|y|﹣|MP|
|MF|﹣|MP|，
∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（0，），
∴存在定点P（0，）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．
故选：C.
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