题目内容
已知椭圆C：
＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2
，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－
.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若
＝
(O为坐标原点)，求|y1－y2|的值；
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
（1）4（2）存在Q(3,0)
【解析】(1)由椭圆的定义知a＝
，设P(x，y)，
则有
，则
＝－
，
又点P在椭圆上，则
＝－
，
∴b2＝2，
∴椭圆C的方程是
＝1.(3分)
∵
＝
，
∴
|cos∠AOB＝，
∴
|sin∠AOB＝4，
∴S△AOB＝
|sin∠AOB＝2，
又S△AOB＝
|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分)
(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，
依题意可知直线l斜率存在且不为零，
直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
由
消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，(9分)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝
，x1·x2＝
.
∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，
∴kQA＋kQB＝0，即
＝0，(13分)
又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，
∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．(16分)
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