Question

(本小题满分12分) 设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13.

(1)求{a_n}，{b_n}的通项公式；         

(2)求数列的前n项和S_n.

 

Answer 1

【答案】

（1) a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.(2)

【解析】(1) 设等差数列的公差为d  等比数列的公比为q，然后根据a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13.可建立关于d和q的两个方程，求出d,q的值，从而得到{a_n}，{b_n}的通项公式.

(2)由（1）知,显然要采用错位相减的方法求和.

（1)设等差数列的公差为d  等比数列的公比为q，

由题意得 1+2d+q⁴=21，     ①    1+4d+q²=13，        ②

①×2－②得，2q⁴－q²－28=0，解得q²=4  又由题意，知{b_n}各项为正，

所以q=2，代入②得d=2， 所以a_n=2n－1 ，b_n=2^n-1.

(2)由(1)可知，，

又，             (1)

，     (2)

(2)－(1)得  

，∴