题目内容
圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过圆O1,圆O2交点的直线的直角坐标方程.
【答案】分析:(1)先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.
(2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.
解答:解:以有点为原点,极轴为x轴正半轴,
建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.
所以x2+y2=4x.
即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程.….(3分)
同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.….(6分)
(2)由解得.
即圆O1,圆O2交于点(0,0)和(2,-2).
过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.…(10分)
点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
(2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程,再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.
解答:解:以有点为原点,极轴为x轴正半轴,
建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.
所以x2+y2=4x.
即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程.….(3分)
同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.….(6分)
(2)由解得.
即圆O1,圆O2交于点(0,0)和(2,-2).
过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.…(10分)
点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
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