Question

如图，已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2,AE=BE=．
（I）求证：平面EAB⊥平面ABCD；
（II）求二面角A-EC-D的余弦值．

Answer 1

（I）证明：取AB的中点O，连接EO,CO    
∵AE=EB=,AB=2
∴△AEB为等腰直角三角形     
∴EO⊥AB,EO=1
又∵AB=BC,∠ABC=60°    
∴△ACB是等边三角形    
∴CO=，又EC=2    
∴EC²=EO²+CO²，∴EO⊥CO
∴EO⊥平面ABCD，又EO平面EAB    
∴平面EAB⊥平面ABCD
（II）以AB中点O为坐标原点，以OB所在直线为y轴,OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则
∴
设平面DCE的法向量
∴，即，解得 ，∴
    设平面的法向量，
即，解得
∴，
∵
所以二面角A-EC-D的余弦值为