Question

如图，已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，
．
（I）求证：平面EAB⊥平面ABCD；
（II）求二面角A-EC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AB的中点O，连接EO，CO．由题意，可得△AEB是以AB为斜边的等腰直角三角形，得EO⊥AB，再由等边三角形△ACB
的高线CO=，得到平方关系：EC²=EO²+CO²，得EO⊥CO，所以EO⊥平面ABCD，从而得到平面EAB⊥平面ABCD；
（II）以AB中点O为坐标原点，以OB、OE所在直线分别为y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，求出A、C、D、E各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，建立方程组并解之，分别可求得平面DEC和平面EAC的法向量、的坐标，最后利用空间向量的夹角公式，可算出二面角A-EC-D的余弦值．
解答：解：（I）取AB的中点O，连接EO，CO
∵△AEB中，
∴AE²+EB²=2=AB²，得△AEB为等腰直角三角形
∴EO⊥AB，EO=1…（2分）
又∵△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°
∴△ACB是等边三角形，得，
又∵EC=2，∴△ECO中，EC²=4=EO²+CO²，得EO⊥CO…（4分）
∵AB、CO是平面ABCD内的相交直线，∴EO⊥平面ABCD，
又∵EO?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD；…（6分）
（II）以AB中点O为坐标原点，以OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
∴…（8分）
设平面DCE的法向量
∴，即，解得，∴
设平面EAC的法向量
∴，即，解得，∴…（10分）
∵根据空间向量的夹角公式，得
∴二面角A-EC-D的余弦值为…（12分）
点评：本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量的方法求面面所成角的知识，属于中档题．