Question

P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，|F₁F₂|=2c，过P作直线l：x=-

a2

c

的垂线，垂足为Q，若PQF₁F₂是平行四边形，则椭圆的离心率取值范围是_

1

2

＜e＜1

．

Answer 1

分析：根据题意得，若PQF₁F₂是平行四边形，如图，由图可知，椭圆上存在一点，使得它到左准线的距离小于焦距即可，而椭圆上的点到左准线的距离的最小值为左顶点到左准线的距离，从而建立关于e的不等关系，求解即得椭圆的离心率取值范围．

解答：解：若PQF₁F₂是平行四边形，如图，
由图可知，椭圆上存在一点，使得它到左准线的距离小于焦距即可，
而椭圆上的点到左准线的距离的最小值为左顶点到左准线的距离，即a-

a2

c

，
∴a-

a2

c

＜2c，
即：2c²+ac-a²＞0，
从而2e²+e-1＞0⇒e＞

1

2

又椭圆的离心率e＜1，
则椭圆的离心率取值范围是

1

2

＜e＜1．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．