题目内容
设 P（x，y），Q（x′，y′） 是椭圆
+
=1（a＞0，b＞0）上的两点，则下列四个结论：①a2+b2≥（x+y）2；②
+
≥(
+
)2；③
+
≥4；④
+
≤1．其中正确的个数为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| y2 |
| xx′ |
| a2 |
| yy′ |
| b2 |
分析：由于点在椭圆上，则点的坐标满足椭圆的方程．
①用（
+
）（a2+b2）替换（a2+b2），
②用（
+
）（
+
）替换（
+
），再根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2可得；
③由椭圆的参数方程可求证；
④利用椭圆的有界性来做．
①用（
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
②用（
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
③由椭圆的参数方程可求证；
④利用椭圆的有界性来做．
解答：解：由于 P（x，y）是椭圆
+
=1（a＞0，b＞0）上的点，则
+
=1，
①（a2+b2）=（a2+b2）(
+
)≥（x+y）2，故①正确；
②(
+
)(
+
)≥(
+
)2，故②也正确；
③由椭圆的参数方程知
+
=
+
=
=
，显然③也正确；
④由于Q（x′，y′） 是椭圆
+
=1（a＞0，b＞0）上的点．
依据椭圆的有界性知xx′≤a2，yy′≤b2，故
+
≤1，故④也正确．
故答案选D．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
①（a2+b2）=（a2+b2）(
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
②(
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
③由椭圆的参数方程知
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| y2 |
| 1 |
| sin2x |
| 1 |
| cos2x |
| 1 |
| sin2x•cos2x |
| 4 |
| sin22x |
④由于Q（x′，y′） 是椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
依据椭圆的有界性知xx′≤a2，yy′≤b2，故
| xx′ |
| a2 |
| yy′ |
| b2 |
故答案选D．
点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了不等式，我们可以根据不等式的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．
练习册系列答案
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（a＞0，b＞0）上的两点，则下列四个结论：①a2+b2≥（x+y）2；②
；③
；④
．其中正确的个数为（ ）
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