Question

4．（1）求证：对任意a，b∈R⁺，有$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，当且仅当a=b时，所有等号成立；
（2）利用（1）的结论，
①求证：$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2}$（a+b+c）；
②已知a，b∈R⁺，且a+b=1，求证：$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$$≤2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）运用先平方再作差，由完全平方公式，即可得证；
（2）①由于（1）的结论的变形：$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），再由累加法，即可得证；
②由（1）的结论的变形：a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，即可得证．

解答 证明：（1）对任意a，b∈R⁺，有
（$\frac{a+b}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab-2{a}^{2}-2{b}^{2}}{4}$
=-$\frac{（a-b）^{2}}{4}$≤0，
当且仅当a=b时，取得等号．
则对任意a，b∈R⁺，有$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$；
（2）①由（1）可得，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b+c），
$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（c+a），
三式相加，可得，
$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2}$（a+b+c），
当且仅当a=b=c时，取得等号；
②由（1）可得，$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$≤$\sqrt{2[（2a+1）+（2b+1）]}$
=$\sqrt{2（2a+2b+2）}$=$\sqrt{2×4}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$，取得等号．
即有$\sqrt{2a+1}$+$\sqrt{2b+1}$$≤2\sqrt{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差法和综合法证明，同时考查累加法的运用，属于中档题．