Question

【题目】已知定义域为R的奇函数满足f（x+4）=f（x），且x∈（0，2）时，f（x）=ln（x2+a），a＞0，若函数f（x）在区间[﹣4，4]上有9个零点，则实数a的取值范围为

Answer 1

【答案】（0，1）
【解析】解：因为f（x+4）=f（x），所以f（x）是以4为周期的函数，
且f（x）为奇函数，所以f（0）=0，因此f（4）=f（0）=0，
再令x=﹣2代入f（x+4）=f（x）得，f（﹣2）=f（2）=﹣f（2），
所以，f（﹣2）=f（2）=0，
因此，要使f（x）=0在[﹣4，4]上有9个零点，
则f（x）在（0，4]上必有4个零点，且已有零点x=2，x=4，
所以，当x∈（0，2）时，f（x）必有唯一零点，
（依据：若在（0，2）有唯一零点，则（﹣2，0）有唯一零点，则（2，4）有唯一零点）
即令f（x）=ln（x2+a）=0，分离a得，a=1﹣x2 ， x∈（0，2），
解得a∈（﹣3，1），且a＞0，所以，a∈（0，1），
所以答案是：（0，1）．