题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，f（x0）），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3-3x2，则
①f（x）的对称中心是
②：f(
)+f(
)+…+f(
)+f(
)= ．
①f（x）的对称中心是
②：f(
| 1 |
| 2012 |
| 2 |
| 2012 |
| 4022 |
| 2012 |
| 4023 |
| 2012 |
分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011对-4和一个f（1）=-2，可得答案．
解答：解：①由题意f（x）=x3-3x2，
则f′（x）=3x2-6x，
f″（x）=6x-6，
由f″（x0）=0得6x0-6=1
解得x0=1，而f（1）=-2，
故函数f（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称，
②∵函数f（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称，
∴f（x）+f（2-x）=-4，
故f(
)+f(
)+…+f(
)+f(
)=-4×2011+（-2）=-8046．
故答案为：①（1，-2），②-8046
则f′（x）=3x2-6x，
f″（x）=6x-6，
由f″（x0）=0得6x0-6=1
解得x0=1，而f（1）=-2，
故函数f（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称，
②∵函数f（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称，
∴f（x）+f（2-x）=-4，
故f(
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故答案为：①（1，-2），②-8046
点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．
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