题目内容
已知函数f(x)=ax
3+bx
2+cx+d(a≠0)的对称中心为M(x
0,f(x
0)),记函数f(x)的导函数为f′(x),f′(x)的导函数为f″(x),则有f″(x
0)=0.若函数f(x)=x
3-3x
2,则
①f(x)的对称中心是
②:
f()+f()+…+f()+f()=
.
分析:由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(1,-2)对称,即f(x)+f(2-x)=-4,而要求的式子可用倒序相加法求解,共有2011对-4和一个f(1)=-2,可得答案.
解答:解:①由题意f(x)=x
3-3x
2,
则f′(x)=3x
2-6x,
f″(x)=6x-6,
由f″(x
0)=0得6x
0-6=1
解得x
0=1,而f(1)=-2,
故函数f(x)=x
3-3x
2关于点(1,-2)对称,
②∵函数f(x)=x
3-3x
2关于点(1,-2)对称,
∴f(x)+f(2-x)=-4,
故
f()+f()+…+f()+f()=-4×2011+(-2)=-8046.
故答案为:①(1,-2),②-8046
点评:本题主要考查导数的基本运算,利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键.
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