Question

13．直线y=x+b与双曲线2x²-y²=1相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求实数b的值．

Answer 1

分析 联立直线和双曲线的方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的积，由以AB为直径的圆经过坐标原点得到x₁x₂+y₁y₂=0，代入后即可求得b的值．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得，x²-2bx-1-b²=0．
∵直线y=x+b与双曲线2x²-y=1相交于A，B两点，
由△=（-2b）²+4（1+b²）=4+8b²＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=2b，x₁x₂=-1-b²．
所以y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=-1-b²+3b²=2b²-1，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
即为$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
即-1-b²+2b²-1=0，
解得b=±$\sqrt{2}$．
所以b的值是±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，是中档题．