Question

14．已知等比数列{a_n}满足a₂=2，a₃=1，则$\lim_{n→+∞}（{a_1}{a_2}+{a_2}{a_3}+…+{a_n}{a_{n+1}}）$=$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 利用a₂=2，a₃=1，两式相除可求得q，根据a₂=2进而可求得a₁再根据数列{a_na_n+1}为以q²为公比，8为首项等比数列，根据等比数列的求和公式可得a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，进而答案可得．

解答 解：a₂=2，a₃=1，解得q=$\frac{1}{2}$，
得a₁=4，a₁a₂，a₂a₃，…，a_na_n+1，是公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，首项为：8．
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{8（1-{（\frac{1}{4}）}^{n}）}{1-\frac{1}{4}}$．
则$\lim_{n→+∞}（{a_1}{a_2}+{a_2}{a_3}+…+{a_n}{a_{n+1}}）$=$\frac{8}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$．
故答案为：$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的性质，数列的极限．求解数列的和，利用极限的运算法则求解是解题的关键．