题目内容

下列命题中假命题是

A.
离心率为 $数学公式$ 的双曲线的两条渐近线互相垂直
B.
过点（1，1）且与直线 $数学公式$ 垂直的直线方程是2x+y-3=0
C.
抛物线y²=2x的焦点到准线的距离为1
D.
$数学公式$ 的两条准线之间的距离为 $数学公式$

D
分析：A设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据离心率为 $\text{[math]}$ ，推断出其斜率之积为-1进而求得a两条渐近线互相垂直．
B设与直线 $\text{[math]}$ 垂直的直线的方程，把点（1，1）的坐标代入求出c值，即得所求的直线的方程．
C根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
D先据标准方程求出a²、b²，计算c²，两准线间的距离为 $\text{[math]}$
解答：对于A：设双曲线方程为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的渐近线方程为y=± $\text{[math]}$ x
根据离心率为 $\text{[math]}$ ，推断出其斜率之积为-1进而两条渐近线互相垂直，故正确；
B：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点（1，1）的坐标代入得 2+1+c=0，
∴c=-3，
故所求的直线的方程为2x+y-3=0，故正确；
C：根据题意可知焦点F（ $\text{[math]}$ ，0），准线方程x=- $\text{[math]}$ ，
∴焦点到准线的距离是1，故正确．
D：a=3，b=5，∴c²=41， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴两准线间的距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故错．
故选 D．
点评：本小题主要考查圆锥曲线的共同特征、抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．