题目内容
【题目】已知f(x)为定义在[﹣1,1]上的奇函数,当x∈[﹣1,0]时,函数解析式f(x)= ﹣
(a∈R).
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.
【答案】
(1)解:∵f(x)为定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(x)在x=0处有意义,
∴f(0)=0,即f(0)= ﹣
=1﹣a=0.
∴a=1.…(3分)
设x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0].
∴f(﹣x)= ﹣
=4x﹣2x.
又∵f(﹣x)=﹣f(x)
∴﹣f(x)=4x﹣2x.
∴f(x)=2x﹣4x
(2)解:当x∈[0,1],f(x)=2x﹣4x=2x﹣(2x)2,
∴设t=2x(t>0),则f(t)=t﹣t2.
∵x∈[0,1],∴t∈[1,2].
当t=1时,取最大值,最大值为1﹣1=0
【解析】(Ⅰ)求出a=1;设x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0],利用条件,即可写出f(x)在[0,1]上的解析式;(Ⅱ)利用换元法求f(x)在[0,1]上的最大值.
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