Question

【题目】已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式f（x）= ﹣ （a∈R）．
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，

∴f（0）=0，即f（0）= ﹣ =1﹣a=0．

∴a=1．…（3分）

设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]．

∴f（﹣x）= ﹣ =4x﹣2x．

又∵f（﹣x）=﹣f（x）

∴﹣f（x）=4x﹣2x．

∴f（x）=2x﹣4x

（2）解：当x∈[0，1]，f（x）=2x﹣4x=2x﹣（2x）2，

∴设t=2x（t＞0），则f（t）=t﹣t2．

∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．

当t=1时，取最大值，最大值为1﹣1=0

【解析】（Ⅰ）求出a=1；设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]，利用条件，即可写出f（x）在[0，1]上的解析式；（Ⅱ）利用换元法求f（x）在[0，1]上的最大值．