Question

（2007•深圳二模）在教材中，我们学过“经过点P（x₀，y₀，z₀），法向量为

e

=(A，B，C)的平面的方程是：A（x-x₀）+B（y-y₀）+C（z-z₀）=0”．现在我们给出平面α的方程是x-y+z=1，平面β的方程是

x

6

-

y

3

-

z

6

=1，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是（　　）

• A．

  2

  3

• B．

  3

  3

• C．

  3

  9

• D．

  2 2

  3

Answer 1

分析：由定义可得：两个平面的法向量分别为：

v

=（1，-1，1），

n

=（1，-2，-1），再利用向量的数量积公式可得两个向量的夹角的余弦值，进而根据向量的夹角与二面角的平面角的关系得到答案．

解答：解：由定义可得：平面x-y+z=1的法向量为

v

=（1，-1，1），平面

x

6

-

y

3

-

z

6

=1的法向量为

n

=（1，-2，-1），
所以两个向量的夹角余弦值为：cos＜ 

v

，

n

＞=

v • n

| v || n |

=

2

3

，
所以平面所成的锐二面角的余弦值

2

3

．
故选A．

点评：本题主要考查由平面方程求平面的法向量，以及向量的数量积运算求两个向量的夹角，此题属于基础题．