题目内容
下列4个命题：
（1）若a＜b，则am2＜bm2；
（2）“a≤2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a成立”的充要条件；
（3）命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是：“?x∈R，x2-x＜0”；
（4）函数f(x)=
的值域为[-1，1]．
其中正确的命题个数是（ ）
（1）若a＜b，则am2＜bm2；
（2）“a≤2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a成立”的充要条件；
（3）命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是：“?x∈R，x2-x＜0”；
（4）函数f(x)=
| 2x-1 |
| 2x+1 |
其中正确的命题个数是（ ）
分析：通过举出反例，可得①不正确；通过绝对值不等式的性质和充要条件的定义进行正反论证，可得②正确；根据含有量词的命题的否定，可得③不正确；利用反解法并结合指数函数的值域，求函数f(x)=
的值域，可得④不正确．由此可得本题答案．
| 2x-1 |
| 2x+1 |
解答：解：由于当m=0时，由a＜b不能推出am2＜bm2，可得①不正确
对于②，当a≤2时，不等式|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2≥a恒成立．
当不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成成立时，也可得到a≤2．
因此“a≤2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a成立”的充要条件，故②正确；
对于③，命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是：“?x∈R，x2-x≤0”，故③不正确；
对于④，令y=f(x)=
，可得2x=
由2x=
＞0，解得y∈（-1，1]，因此函数的值域为（-1，1]，故④不正确
综上所述，只有②一个命题正确
故选：A
对于②，当a≤2时，不等式|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2≥a恒成立．
当不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成成立时，也可得到a≤2．
因此“a≤2”是“对任意的实数x，|x+1|+|x-1|≥a成立”的充要条件，故②正确；
对于③，命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是：“?x∈R，x2-x≤0”，故③不正确；
对于④，令y=f(x)=
| 2x-1 |
| 2x+1 |
| 1-y |
| 1+y |
由2x=
| 1-y |
| 1+y |
综上所述，只有②一个命题正确
故选：A
点评：本题通过几个命题真假的判断，考查了不等式的性质、绝对值不等式、含有量词命题的否定和函数值域的求法等知识，属于中档题．
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