Question

已知函数f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+mx，x＜0

是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，设x＜0得到f（-x）=-f（x），进而的f（x）的解析式，求得m的值．
（2）根据（1）中的解析式，可画出f（x）的图象，根据图象可知要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，则需a-2＞-1且a-2≤1，进而求得a的范围．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0，所以f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x，
又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），于是x＜0时，f（x）=x²+2x=x²+mx，所以m=2．
（2）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，结合f（x）的图象知

a-2＞-1 a-2≤1

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．属基础题．