题目内容

记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+
2
，S3=12+3
2
．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）记bn=an-
2
，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比数列，其中n1=1，n2=3，求nk（用k表示）；
（3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．
（1）因为a1=2+
2
，S3=3a1+3d=12+3
2
，所以d=2．
所以an=a1+（n-1）d=2n+
2
，Sn=
n(a1+an)
2
=
n(2+
2
+2n+
2
)
2
=n2+(
2
+1)n；
（2）因为bn=an-
2
=2n，所以bnk=2nk．
又因为数列{bnk}的首项bn1=b1=2，
公比q=
bn2
bn1
=
3
1
=3，所以bnk=2•3k-1．
所以2nk=2•3k-1，即nk=3k-1．
（3）假设存在三项ar，as，at成等比数列，则as2=ar•at，
即有(2s+
2
)2=(2r+
2
)(2t+
2
)，整理得(rt-s2)
2
=2s-r-t．
若rt-s2≠0，则
2
=
2s-r-t
rt-s2
，因为r，s，t∈N*，所以
2s-r-t
rt-s2
是有理数，
这与
2
为无理数矛盾；
若rt-s2=0，则2s-r-t=0，从而可得r=s=t，这与r＜s＜t矛盾．
综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at．
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记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+
2
，S3=12+3
2
．
（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（2）记bn=an-
2
，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比数列，其中n1=1，n2=3，求nk（用k表示）；
（3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋3．

(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

(2)记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk(用k表示)；

(3)试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

(本小题满分16分)记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋．

（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

（2）记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk（用k表示）；

（3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

 

记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋．

（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

（2）记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk（用k表示）；

（3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

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