题目内容

已知向量
a
=(sinx，-1)，
b
=(
3
cosx，-
1
2
)，函数f(x)=(
a
+
b
)•
a
-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移
π
6
上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其对称中心坐标．
分析：（I）根据向量数量积的坐标运算公式，得
a
2=sin2x+1，
a
•
b
=
3
sinxcosx+
1
2
，代入函数表达式，结合二倍角三角函数公式化简整理，得f（x）=sin(2x-
π
6
)，由三角函数周期公式可得最小正周期T；
（II）由三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的公式，可得g(x)=sin(
2
3
x+
π
6
)，最后结合三角函数图象对称中心的公式，可得函数图象的对称中心．
解答：解：（Ⅰ）∵
a
=(sinx，-1)，
b
=(
3
cosx，-
1
2
)
∴
a
2=sin2x+1，
a
•
b
=
3
sinxcosx+
1
2

∴f(x)=(
a
+
b
)•
a
-2=
a2
+
a
•
b
-2
=sin2x+1+
3
sinxcosx+
1
2
-2…（2分）
=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6
)…（4分）
∵ω=2，∴T=
2π
2
=π…（6分）
（Ⅱ）向左平移
π
6
个单位，得y=sin[2(x+
π
6
)-
π
6
]=sin(2x+
π
6
)…（8分）
横坐标伸长为原来的3倍，得g(x)=sin(
2
3
x+
π
6
)…（10分）
令
2
3
x+
π
6
=kπ，得x=
3kπ
2
-
π
4
，其中k∈Z
∴函数g（x）图象对称中心坐标坐标为：(
3
2
kπ-
π
4
，0)，其中k∈Z…（12分）
点评：本题以向量数量积运算为载体，考查了三角函数的图象与性质和二倍角三角函数公式等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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