题目内容

已知函数=,其中a≠0

(1)   若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.

(2)在函数的图像上取定两点,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(1)

(2)

【解析】(Ⅰ)若,则对一切,这与题设矛盾,又

.而

时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值

于是对一切恒成立,当且仅当.       ①

时,单调递增;当时,单调递减.

故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.

综上所述,的取值集合为.

(Ⅱ)由题意知,

,则.

时,单调递减;当时,单调递增.

故当

从而

所以

因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, .

综上所述,存在使成立.且的取值范围为.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

 

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