Question

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

a

x

，设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入求出函数F（x）的解析式后求导数，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间．
（2）先求函数F（x）的导数，然后令导函数小于等于

1

2

在（0，3]恒成立可求a的范围进而求a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知a=1，可得F(x)=f(x)+g(x)=lnx+

1

x

，函数的定义域为（0，+∞），
则F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

由F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

＞0可得F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

＜0得F（x）在（0，1）上单调递减；
（Ⅱ）由题意可知k=F′(x0)=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

对任意0＜x₀≤3恒成立，
即有x0-

1

2

x

2 0

≤a对任意0＜x₀≤3恒成立，即(x0-

1

2

x

2 0

)max≤a，
令t=x0-

1

2

x

2 0

=-

1

2

(

x

2 0

-2x0)=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

≤

1

2

，
则a≥

1

2

，即实数a的最小值为

1

2

．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，进当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．