题目内容
设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x+1）2+(y-
)2=16相交于M，N两点，且|MN|=
|AB|，求椭圆的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x+1）2+(y-
| 3 |
| 5 |
| 8 |
（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0） （c＞0）．
由题得|PF2|=|F1F2|，即
=2c，整理得2(
)2+
-1=0，得
=-1（舍），或
=
，
所以e=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=
c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程PF2为y=
（x-c）．
A，B的坐标满足方程组
，
消y并整理得5x2-8xc=0，
解得x=0，x=
c，得方程组的解为
c，
，
不妨设A（
c，
c），B（0，-
c）．
所以|AB|=
=
c，于是|MN|=
|AB|=2c．
圆心（-1，
）到直线PF2的距离d=
，
因为d2+(
)2=42，所以
（2+c）2+c2=16，整理得c=-
（舍）或c=2．
所以椭圆方程为
+
=1．
由题得|PF2|=|F1F2|，即
| (a-c)2+b2 |
| c |
| a |
| c |
| a |
| c |
| a |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
所以e=
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=
| 3 |
| 3 |
A，B的坐标满足方程组
|
消y并整理得5x2-8xc=0，
解得x=0，x=
| 8 |
| 5 |
|
|
不妨设A（
| 8 |
| 5 |
3
| ||
| 5 |
| 3 |
所以|AB|=
(
|
| 16 |
| 5 |
| 5 |
| 8 |
圆心（-1，
| 3 |
|-
| ||||||
| 2 |
因为d2+(
| |MN| |
| 2 |
| 3 |
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所以椭圆方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
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练习册系列答案
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设椭圆
+
=1(a＞b＞0)上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、x2+y2=a2 |
| B、x2+y2=b2 |
| C、x2+y2=c2 |
| D、x2+y2=e2 |