题目内容
如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值
分析：法一（Ⅰ）证明平面PDC内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线PA，AD，即可证明CD⊥平面PAD，推出平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，说明∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，解三角形EFO求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，说明∠DCH是直线与平面所成的角，解三角形DCG，求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．
法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）利用
•
=0，
•
=0，推出CD⊥AD，CD⊥AP，说明CD⊥平面PAD，证明平面PDC⊥平面PAD．
（Ⅱ）求出平面AEC的法向量
，平面ABC的法向量
，利用cos?
，
?=
求解即可．
（Ⅲ平面的法向量是
，求出
，利用cosθ=
，求出直线CD与平面AEC所成角的正弦值
．
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，说明∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，解三角形EFO求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，说明∠DCH是直线与平面所成的角，解三角形DCG，求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．
法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）利用
| CD |
| AD |
| CD |
| AP |
（Ⅱ）求出平面AEC的法向量
| n |
| AP |
| n |
| AP |
| ||||
|
|
（Ⅲ平面的法向量是
| n |
| CD |
| ||||
|
|
| 2 |
| 3 |
解答：解：法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABC，
∴PA⊥CD．（2分）
∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD．
而PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．（4分）
CD?平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，则EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
过O作OF⊥AC交AC于F，连接EF，
则∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．（7分）
由PA=2，则EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=
．
因为O是AD的中点，所以OF=
．（8分）
而EO=1，由勾股定理可得EO=
．（9分）cos∠EFO=
=
=
．（10分）
（Ⅲ）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，
又∵CD⊥AE，∴AE⊥平面CDG，
过D作DH垂直CG于H，则AE⊥DH，
所以DH⊥平面AGC，即DH⊥平面AEC，
所以CD在平面ACE内的射影是CH，∠DCH是直线与平面所成的角．（12分）
∵DG=AD•sin∠DAG=AD•sin∠OAE=AD•
=4×
=
．CD=2
∴CG=
=
．
∴sin∠DCG=
=
=
．（14分）
解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．（2分）
∴
=（2，0，0），
=（0，4，0），
=（0，0，2），
=（-2，0，0），
=（0，2，1），
=（2，4，0）． （3分）
（Ⅰ）∵
•
=0，∴CD⊥AD．
又∵
•
=0，∴CD⊥AP．（5分）
∵AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
而CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）
（Ⅱ）设平面AEC的法向量
=（x，y，z），令z=1，则
=(x，y，1)．
由
即
?
?
∴
=(1，-
，1)．（9分）
平面ABC的法向量
=（0，0，2）.cos?
，
?=
=
=
．
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是
．（11分）
（Ⅲ）因为平面的法向量是
=(1，-
，1)，而
=（-2，0，0）．
所以cosθ=
=
=-
．（13分）
直线CD与平面AEC所成角的正弦值
．（14分）
∴PA⊥CD．（2分）
∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD．
而PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．（4分）
CD?平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，则EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
过O作OF⊥AC交AC于F，连接EF，
则∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．（7分）
由PA=2，则EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=
4
| ||
| 5 |
因为O是AD的中点，所以OF=
2
| ||
| 5 |
而EO=1，由勾股定理可得EO=
3
| ||
| 5 |
| OF |
| EF |
| ||||
|
| 2 |
| 3 |
（Ⅲ）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，又∵CD⊥AE，∴AE⊥平面CDG，
过D作DH垂直CG于H，则AE⊥DH，
所以DH⊥平面AGC，即DH⊥平面AEC，
所以CD在平面ACE内的射影是CH，∠DCH是直线与平面所成的角．（12分）
∵DG=AD•sin∠DAG=AD•sin∠OAE=AD•
| OE |
| AE |
| 1 | ||
|
4
| ||
| 5 |
∴CG=
|
6
| ||
| 5 |
∴sin∠DCG=
| DG |
| CG |
| ||||
|
| 2 |
| 3 |
解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．（2分）
∴
| AB |
| AD |
| AP |
| CD |
| AE |
| AC |
（Ⅰ）∵
| CD |
| AD |
又∵
| CD |
| AP |
∵AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
而CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）
（Ⅱ）设平面AEC的法向量
| n |
| n |
由
|
|
|
|
∴
| n |
| 1 |
| 2 |
平面ABC的法向量
| AP |
| n |
| AP |
| ||||
|
|
| 2 | ||
|
| 2 |
| 3 |
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是
| 2 |
| 3 |
（Ⅲ）因为平面的法向量是
| n |
| 1 |
| 2 |
| CD |
所以cosθ=
| ||||
|
|
| -2 | ||
|
| 2 |
| 3 |
直线CD与平面AEC所成角的正弦值
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．
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