题目内容
A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电．为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于45km．已知供电费用（元）与供电距离（km）的平方和供电量（亿度）之积成正比，比例系数λ=0.2，若A城供电量为30亿度/月，B城为20亿度/月．
（Ⅰ）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
（Ⅱ）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小，最小费用是多少？
（Ⅰ）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
（Ⅱ）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小，最小费用是多少？
分析：（Ⅰ）由题意得到每月给A城供电的费用和每月给B城供电的费用，求和可得月供电总费用，由核电站到两城的距离不小于45km得到函数定义域；
（Ⅱ）利用配方法求函数的最小值．
（Ⅱ）利用配方法求函数的最小值．
解答：解：（Ⅰ）每月给A城供电的费用为0.2×30×x2，每月给B城供电的费用为0.2×20×（100-x）2，
∴月供电总费用y=0.2×30×x2+0.2×20×（100-x）2．
即y=10x2-800x+40000．
由
，得45≤x≤55．
∴函数解析式为 y=10x2-800x+40000，定义域为[45，55]；
（Ⅱ）由y=10x2-800x+40000，得y=10（x-40）2+24000，
∵x∈[45，55]，∴y在[45，55]上单调递增，
∴当x=45时，ymin=10(45-40)2+24000=24250．
故当核电站建在距A城45km时，才能使供电费用最小，最小费用为24250元．
∴月供电总费用y=0.2×30×x2+0.2×20×（100-x）2．
即y=10x2-800x+40000．
由
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∴函数解析式为 y=10x2-800x+40000，定义域为[45，55]；
（Ⅱ）由y=10x2-800x+40000，得y=10（x-40）2+24000，
∵x∈[45，55]，∴y在[45，55]上单调递增，
∴当x=45时，ymin=10(45-40)2+24000=24250．
故当核电站建在距A城45km时，才能使供电费用最小，最小费用为24250元．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了分段函数解析式的求法，分段函数的最值得求法，分段函数的最值要分段求，是中档题．
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