Question

函数f（x）的图象是如图所示的折线段OAB，其中点A（1，2）、B（3，0），函数g（x）=（x-1）f（x），则函数g（x）的最大值为

 

．

Answer 1

分析：先根据图象求得函数f（x），再根据g（x）=（x-1）f（x），求得函数g（x），再根据函数类型求其最大值．

解答：解：依题意得f（x）
=

2x，x∈[0，1] -x+3，x∈(1，3]

，
g(x)=

2x(x-1)，x∈[0，1] (-x+3)(x-1)，x∈(1，3]

当x∈[0，1]时，g（x）=2x（x-1）=2x²-2x=2（x-

1

2

）²-

1

2

的最大值是0；
当x∈（1，3]时，g（x）=（-x+3）（x-1）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1的最大值是1．
因此，函数g（x）的最大值为1．
故答案为：1

点评：本题主要考查通过图象求函数解析式和构造新函数研究其性质的问题，还涉及了分段函数求最值问题，基本方法是：在每一段上取得取最大值，从中取最大的为原函数的最大值；在每一段上求得最小值，从中取最小的为原函数的最小值．