题目内容
已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,(1)求函数f(x)的表达式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间?
(3)求函数f(x)在闭区间[-2,+2]上的最大值与最小值?
【答案】分析:(1)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,即f(1)=-1,f′(1)=0,所以先求导函数,再代入列方程组,即可解得a、b的值
(2)分别解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可得函数f(x)的单调增区间与单调递减区间
(3)由(2)可得函数f(x)在[-2,2]上的单调性,从而求出函数在[-2,2]上的极大值和极小值,最后比较端点值f(-2),f(2)与极值的大小确定函数在[-2,2]上的最大值与最小值
解答:解:(1)∵f′(x)=3x2-6ax+2b,函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,
∴f(1)=-1,f′(1)=0
∴1-3a+2b=-1,3-6a+2b=0
解得a=
,b=-
∴f(x)=x3-x2-x
(2)∵f′(x)=3x2-2x-1
∴由f′(x)=3x2-2x-1>0得x∈
由f′(x)=3x2-2x-1<0得x∈
∴函数f(x)的单调增区间为:
,减区间为:
(3)由(2)可得函数f(x)在[-2,-
)上是增函数,在[-
,1)上是减函数,在[1,2]上是增函数
且f(-2)=-10,f(-
)=
,f(1)=-1,f(2)=2
∴函数f(x)在闭区间[-2,+2]上的最大值f(2)=2
最小值为f(-2)=-10
点评:本题考察了导数在求函数极值中的应用,利用导数求函数的单调区间,及利用导数求函数在闭区间上的最值的方法
(2)分别解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可得函数f(x)的单调增区间与单调递减区间
(3)由(2)可得函数f(x)在[-2,2]上的单调性,从而求出函数在[-2,2]上的极大值和极小值,最后比较端点值f(-2),f(2)与极值的大小确定函数在[-2,2]上的最大值与最小值
解答:解:(1)∵f′(x)=3x2-6ax+2b,函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,
∴f(1)=-1,f′(1)=0
∴1-3a+2b=-1,3-6a+2b=0
解得a=


∴f(x)=x3-x2-x
(2)∵f′(x)=3x2-2x-1
∴由f′(x)=3x2-2x-1>0得x∈

由f′(x)=3x2-2x-1<0得x∈

∴函数f(x)的单调增区间为:


(3)由(2)可得函数f(x)在[-2,-


且f(-2)=-10,f(-


∴函数f(x)在闭区间[-2,+2]上的最大值f(2)=2
最小值为f(-2)=-10
点评:本题考察了导数在求函数极值中的应用,利用导数求函数的单调区间,及利用导数求函数在闭区间上的最值的方法

练习册系列答案
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π |
2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
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