Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，已知椭圆E上的任意一点P，满足

PF1

•

PF2

的最小值为

1

2

a²，过F₁作垂直于椭圆长轴的弦长为3．（参考公式：

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=x₁x₂+y₁y₂）
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过F₁的直线交椭圆于A，B两点，求

F2A

•

F2B

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设点P（x₀，y₀），用坐标表示出

PF1

•

PF2

，根据二次函数性质求得其最小值，令最小值为

1

2

a²，由长轴长可得

b2

a

=

3

2

，结合a²=b²+c²即可解得a，b；
（2）当过F₁的直线AB的斜率不存在时，容易求得此时

F2A

•

F2B

；当过F₁的直线AB存在斜率时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消去y得x的二次方程，利用韦达定理及向量数量积运算可把

F2A

•

F2B

表示为关于k的函数，根据k的取值范围即可求得

F2A

•

F2B

的范围，综上即可求得答案．

解答：解：（1）设点P（x₀，y₀），则

PF1

=(-c-x0，-y0)，

PF2

=(c-x0，-y0)，
∴

PF1

•

PF2

=

x

2 0

-c2+

y

2 0

=

c2

a2

x

2 0

+b2-c2，
∵

PF1

•

PF2

≥

1

2

a2，0≤

x

2 0

≤a2，
∴b2-c2=

1

2

a2，∴a=2c，
又

c2

a2

+

y2

b2

=1，∴y=±

b2

a

，∴

b2

a

=

3

2

，a²=4，b²=3，
∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）当过F₁的直线AB的斜率不存在时，点A（-1，

3

2

）B（-1，-

3

2

），则

F2A

•

F2B

=-

1

2

；
当过F₁的直线AB存在斜率时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
x1+x2=

-8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
所以

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+（k²+1）=

7k2-9

4k2+3

=

7

4

-

57

4(4k2+3)

，
∵k²≥0，∴-3≤

F2A

•

F2B

＜

7

4

，
综上所述，∴-3≤

F2A

•

F2B

＜

7

4

；

点评：本小题主要考查椭圆的方程、几何性质，平面向量的数量积的坐标运算，直线与圆锥曲线的位置关系等基本知识及推理能力和运算能力．