题目内容

设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)M(2.
2
)，N(
6
，1)，O为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且
OA
⊥
OE
？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．
分析：（1）把点M和N代入椭圆的标准方程，可求得a和b，进而可得椭圆E的方程．
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
OA
⊥
OB
，设该圆的切线方程为y=kx+m，直线和椭圆方程联立，消去y，根据判别式大于0求得k和m的不等式关系，再根据使
OA
⊥
OB
，需使x1x2+y1y2=0，分别用k和m分别表示出x1x2和y1y2进而可求得k和m的关系，代入k和m的不等式关系中求得m的范围，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，求得半径，圆的方程可得．此时圆的切线y=kx+m都满足，进而判定存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
OA
⊥
OB
．最后用k表示出|AB|，根据k的范围确定|AB|的范围．
解答：解：（1）因为椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）
过M（2，
2
），N（
6
，1）两点，
所以
4
a2
+
2
b2
=1
6
a2
+
1
b2
=1
解得
1
a2
=
1
8
1
b2
=
1
4

所以
a2=8
b2=4
椭圆E的方程为
x2
8
+
y2
4
=1
（2）假设存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，
且
OA
⊥
OB
，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1

得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，
即8k2-m2+4＞0
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-8
1+2k2
，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
k2(2m2-8)
1+2k2
-
4k2m2
1+2k2
+m2=
m2-8k2
1+2k2

要使
OA
⊥
OB
，
需使x1x2+y1y2=0，
即
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0，
所以3m2-8k2-8=0，所以k2=
3m2-8
8
≥0又8k2-m2+4＞0，
所以
m2＞2
3m2≥8
，所以m2≥
8
3
，
即m≥
2
6
3
或m≤-
2
6
3
，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=
|m|
1+k2
，
r2=
m2
1+k2
=
m2
1+
3m2-8
8
=
8
3
，
r=
2
6
3
，所求的圆为x2+y2=
8
3
，
此时圆的切线y=kx+m都满足m≥
2
6
3
或m≤-
2
6
3
，
而当切线的斜率不存在时切线为x=±
2
6
3
与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1的两个交点为(
2
6
3
，±
2
6
3
)或(-
2
6
3
，±
2
6
3
)满足
OA
⊥
OB
，综上，
存在圆心在原点的圆x2+y2=
8
3
，
使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
OA
⊥
OB
．
因为
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-8
1+2k2
，
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-
4km
1+2k2
)2-4×
2m2-8
1+2k2
=
8(8k2-m2+4)
(1+2k2)2
，|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(1+k2)(x1-x2)2
=
(1+k2)
8(8k2-m2+4)
(1+2k2)2
=
32
3
•
4k4+5k2+1
4k4+4k2+1
=
32
3
[1+
k2
4k4+4k2+1
]
，
①当k≠0时|AB|=
32
3
[1+
1
4k2+
1
k2
+4
]

因为4k2+
1
k2
+4≥8所以0＜
1
4k2+
1
k2
+4
≤
1
8
，
所以
32
3
＜
32
3
[1+
1
4k2+
1
k2
+4
]≤12，
所以
4
3
6
＜|AB|≤2
3
当且仅当k=±
2
2
时取”=”．
2当k=0时，|AB|=
4
6
3
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
（2012•安徽模拟）设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过M（2，
2
），N（
6
，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
OA 
⊥
OB 
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆E上一点，AF1⊥F1F2，原点到直线AF2的距离是
1
3
|OF1|．△AF1F2 的面积是等于椭圆E的离心率e，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ），若直线l：y=x+m与椭圆E交于B、C两点，问：是否存在实数m使∠BF2C为钝角？如果存在，求出m的范围；如果不存在，说明理由．
设椭圆E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，已知A（a，0），B（0，-b），且原点O到直线AB的距离为
2
3
3

（Ⅰ）  求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知过点M（1，0）的直线交椭圆E于C，D两点，若存在动点N，使得直线NC，NM，ND的斜率依次成等差数列，试确定点N的轨迹方程．
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且过点M（2，
2
），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在以圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
OA
⊥
OB
？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．

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