题目内容
设椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且过点M（2，
），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在以圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
⊥
？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在以圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
| OA |
| OB |
分析：（I）根据离心率为e=
，过点M（2，
），利用待定系数法，求出几何量，从而可求椭圆E的方程；
（II）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及
⊥
，可确定m的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜率不存在时，结论也成立．
| ||
| 2 |
| 2 |
（II）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及
| OA |
| OB |
解答：解：（I）∵椭圆E：
+
=1（a，b＞0）的离心率为
，且过点M（2，
），
∴
，解得
，
∴椭圆E的方程为
+
=1；
（II）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
⊥
，
设该圆的切线方程为y=kx+m，
解方程组
得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，
x1+x2=-
，x1x2=
；
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
，
∵
⊥
，
∴x1x2+y1y2=0，
∴
+
=0，
∴3m2-8k2-8=0，
∴8k2=3m2-8，
∴对任意k，符合条件的m满足
，
∴m2≥
，即m≥
或m≤-
，
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为r=
，
∴r2=
=
=
，
∴所求的圆为x2+y2=
；
此时圆的切线y=kx+m都满足m≥
或m≤-
，
而当切线的斜率不存在时，切线为x=±
与椭圆
+
=1的两个交点为(
，±
)或(-
，±
)满足
⊥
，
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
⊥
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| 2 |
∴
|
|
∴椭圆E的方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（II）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
| OA |
| OB |
设该圆的切线方程为y=kx+m，
解方程组
|
则△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，
x1+x2=-
| 4km |
| 1+2k2 |
| 2m2-8 |
| 1+2k2 |
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
| m2-8k2 |
| 1+2k2 |
∵
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=0，
∴
| 2m2-8 |
| 1+2k2 |
| m2-8k2 |
| 1+2k2 |
∴3m2-8k2-8=0，
∴8k2=3m2-8，
∴对任意k，符合条件的m满足
|
∴m2≥
| 8 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为r=
| m | ||
|
∴r2=
| m2 |
| 1+k2 |
| m2 | ||
1+
|
| 8 |
| 3 |
∴所求的圆为x2+y2=
| 8 |
| 3 |
此时圆的切线y=kx+m都满足m≥
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
而当切线的斜率不存在时，切线为x=±
2
| ||
| 3 |
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| OA |
| OB |
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=
| 8 |
| 3 |
| OA |
| OB |
点评：熟练掌握椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与椭圆相交得到根与系数的关系、直线与圆相切的性质、垂直与数量积的关系是解题的关键．
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