Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-1，4]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a；
（Ⅱ）求出导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，再由极值和区间[-1，4]的端点处的函数值，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x²-2ax+a²-1，
∵x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，即a²-2a=0．
解a=0，或2．
经检验合题意．故a=0或a=2；         
（Ⅱ）∵（1，f（1））是切点，
∴由切线方程x+y-3=0可得1+f（1）-3=0，即f（1）=2，
即$2=\frac{1}{3}-a+{a^2}-1+b，{a^2}-a+b-\frac{8}{3}=0$．
∵切线x+y-3=0的斜率为-1，
∴f′（1）=-1，即a²-2a+1=0，即a=1．
代入解得$b=\frac{8}{3}$．
∴$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+\frac{8}{3}$．
∴f′（x）=x²-2x，∴x=0和x=2是y=f（x）的两个极值点．
∵$f（0）=\frac{8}{3}，f（2）=\frac{4}{3}，f（-1）=\frac{4}{3}，f（4）=8$，
∴y=f（x）在[-1，4]上的最大值为8．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．