Question

已知函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），其反函数f^-1（x）的图象过点（8，2）．（1）求a，k的值
（2）若将y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y=g（x）的图象，写出y=g（x）的解析式
（3）若函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），求F（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），f（-1）=a^-1+k=1，解得k=1．函数f（x）=a^x+k反函数f^-1（x）的图象过点（8，2），知a^2+k=8，解得a=2．
（2）由（1）得f（x）=2^x+1，所以f^-1（x）=log₂^x-1．由此解得g（x）=log₂（x+2）．（x＞-2）
（3）由f（x）=g（x²）-f^-1（x），知f（x）=log2

x2+2

x

+1=log2(x+

2

x

)+1，由此能求出当且仅当x=

2

时取
F(x)min=F(

2

)=log22

2

+1=

5

2

．

解答：解：（1）∵函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），
∴f（-1）=a^-1+k=1，
解得k=1．
∵函数f（x）=a^x+k反函数f^-1（x）的图象过点（8，2），
∴函数f（x）=a^x+k的图象过点（2，8），
∴a^2+k=8，即a³=8，
∴a=2．
（2）由（1）得f（x）=2^x+1，
∴f^-1（x）=log₂^x-1．
将y=f^-1（x）的图象向左移2，向上移1得f^-1（x+2）-1=log₂（x+2），
∴g（x）=log₂（x+2）．（x＞-2）
（3）f（x）=g（x²）-f^-1（x）
=log₂（x²+2）-log₂^x+1（x＞0）
=log2

x2+2

x

+1=log2(x+

2

x

)+1，
∴x＞0，
∴x+

2

x

≥2

2

，
当且仅当x=

2

时取
∴F(x)min=F(

2

)=log22

2

+1=

5

2

．

点评：本题考查反函数的性质和应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．