题目内容

（2006•西城区二模）如图，正四棱锥S-ABCD中，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的
大小是60°．
（1）求证：直线SA∥平面BDE；
（2）求二面角A-SB-D的大小；
（3）求直线BD和平面SBC所成角的大小．
分析：（1）连AC交BD于点O，连结SO，OE，以O为坐标原点，OA，OB，OS所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，在平面BDE内找一向量使得向量
SA
与其共线，则可证明线面平行；
（2）分别求出二面角A-SB-D的两个半平面所在平面的法向量，利用法向量所成的角求解二面角的大小；
（3）求出平面SBC的一个法向量，利用向量
BD
与法向量所成的角求直线BD和平面SBC所成角的大小．
解答：（1）证明：连AC交BD于点O，连结SO，OE．
根据正四棱锥的性质，得SO⊥面ABCD．以OA、OB、OS所在射线分别作为非负x轴、非负y轴、非负z轴建立空间直角坐标系．
因为异面直线SA和BC所成角的大小是60°，AD∥BC，所以∠SAD=60°，
因而△SDA是等边三角形，根据正棱锥的性质，得△SDC，△SBA，△SBC也是等边三角形．设AB=a，
则A(
2
2
a，0，0)，S(0，0，
2
2
a)，E(-
2
4
a，0，
2
4
a)，B(0，
2
2
a，0)
因为
.
AS
=(-
2
2
a，0，
2
2
a)，
.
OE
=(-
2
4
a，0，
2
4
a)，所以
.
AS
=2
.
OE
，所以AS∥OE．

又OE?面BDE，AS?面BDE，
所以AS∥面BDE．
（2）设
n1
=(x1，y1，z1)是平面SAB的法向量．
则由
n1
•
.
AS
=0
n1
•
.
AB
=0
，得
-
2
2
ax1+
2
2
az1=0
-
2
2
ax1+
2
2
ay1=0

取x1=1，得
n1
=(1，1，1)．
因为OA⊥SO，且OA⊥BD，所以
.
OA
是平面SBD的法向量．
则cos＜
n1
，
.
AO
＞=
n1
•
.
OA
|
n1
|•|
.
AO
|
=
2
2
a
3
•
2
2
a
=
3
3
．
所以二面角A-SB-D的大小是arccos
3
3
．
（3）设
n2
=(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量．
则由
n2
•
SB
=0
n2
•
BC
=0
，得
2
2
ay2-
2
2
az2=0
-
2
2
ax2-
2
2
ay2=0
，取x2=1，得
n2
=(1，-1，-1)，
又
BD
=(0，-
2
a，0)．则cos＜
BD
，
n2
＞=
BD
•
n2
|
BD
|•|
n2
|
=
2
a
2
a•
3
=
3
3
，
设BD和平面SBC所成的角的大小为α，则sinα=
3
3
，
即直线BD和平面SBC所成的角为arcsin
3
3
．
点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了线面角和二面角的求法，利用空间向量求空间角的大小能起到事半功倍的效果，是中档题．
练习册系列答案
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（2006•西城区二模）在数列{an}中，a1=1，an+1=1-
1
4an
，bn=
2
2an-1
，其中n∈N*．
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2
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x
与直线l：y=x-c的交点为P（异于原点O）．在曲线C上取一点P1（x1，y1），过点P1作P1Q1平行于x轴，交直线l于Q1，过点Q1作Q1P2平行于y轴，交曲线C于P2（x2，y2）；接着过点P2作P2Q2平行于x轴，交直线l于Q2，过点Q2作Q2P3平行于y轴，交曲线C于P3（x3，y3）；如此下去，可得到点P4（x4，y4），P5（x5，y5），…，Pn（xn，yn），设点P坐标为(a，
a
)，x1=b，0＜b＜a．
（1）试用c表示a，并证明a≥1；
（2）证明：x2＞x1，且xn＜a（n∈N*）；
（3）当c=0，b≥
1
2
时，求证：
n
k=1
xk+1-xk
xk+2
＜
42
2
(n，k∈N*)．
（2006•西城区二模）sin600°+tan240°的值是（　　）
（2006•西城区二模）函数y=
x2+1
(x＞0)的反函数是（　　）
（2006•西城区二模）等差数列{an}中，a1+a3+a5+a7=4，则a2+a4+a6=（　　）

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