题目内容
设x、y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则
+
的最小值是
|
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
4
4
．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则
+
的最小值．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-
x+
，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-
＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y=-
x+
，由图象可知当直线y=-
x+
经过点A时，直线y=-
x+
的截距最大，此时z最大．
由
，解得
，即A（2，2），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，
即2a+2b=2，∴a+b=1，
+
=（
+
）×1=（
+
）×（a+b）=2+
+
≥2+2
=4，
当且仅当
=
，即a=b=
时取等号．
故答案为：4
| a |
| b |
| z |
| b |
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-
| a |
| b |
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y=-
| a |
| b |
| z |
| b |
| a |
| b |
| z |
| b |
| a |
| b |
| z |
| b |
由
|
|
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，
即2a+2b=2，∴a+b=1，
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
|
当且仅当
| a |
| b |
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
故答案为：4
点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．
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