题目内容
【题目】已知函数,
是
的导函数.
(1)若,当
时,函数
在
内有唯一的极大值,求
的取值范围;
(2)若,
,试研究
的零点个数.
【答案】(1);(2)
有
个零点
【解析】
(1)先求导得,再分
和
两种情况讨论求得
的取值范围;(2)分析可知,只需研究
时零点的个数情况,再分
两种情形讨论即可.
(1)当时,
,
,
在
是减函数,且
,
,
①,当,
时,
恒成立,
在
是增函数,无极值;
②,当,
时,
,使得
,
,
,
单调递增;
,
,
单调递减,
为
唯一的极大值点,所以
(2),
,
,
,可知,
(i)时,
,无零点;所以只需研究
,
,
(ii)时,
,可知
单调递减,
,
,
唯一的
,
;
(iii)当,
是减函数,且
,
,
则,
,
在
是增函数,
是减函数,并且
,
,
,
所以,
;
,
,且知
在
单调递减,在
单调递增,在
单调递减.
又因为,
,
,所以
,
,
,
,综上所述,由(i)(ii)(iii)可知,
有
个零点.
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