Question

已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=-4

2

y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，

2

)在该椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为

2

直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）求出抛物线的焦点，即得椭圆的焦点，设出椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1将点A（1，

2

）代入，求出a，即得椭圆方程；
（2）用待定系数法设直线BC的方程为y=

2

x+m，将其与椭圆的方程联立求同弦长BC，再求出点A到此弦的距离，将三角形的面积用参数表示出，判断出它取到最大值时的参数m的值即可得到直线l的方程

解答：解：（1）由已知抛物线的焦点为（0，-

2

），故设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1．
将点A（1，

2

），代入方程得

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，，得a²=4或a²=1（舍）（4分）
故所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1（5分）
（2）设直线BC的方程为y=

2

x+m，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
代入椭圆方程并化简得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0可得m²＜8，①
由x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

故|BC|=

3

|x₁-x₂|=

3 - 16-2m 2

2

．
又点A到BC的距离为d=

|m|

3

故SABC=

1

2

×|BC|×d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

×

2m2+16-2m2

2

=

2

当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号（满足①式），S取得最大值

2

．
此时求直线l的方程为y=

2

x±2．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是设出直线的方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系，将三角形的面积用参数表示出来，本题解题过程中利用判别式判断出最值取到时参数的值，这是本题中的一个难点，由于对知识掌握得不熟练，答题者可能到这里就不知道怎么来求参数的值，导致解题失败，数学学习，知识掌握得全面是灵活运用的基础．