Question

(本小题满分12分)

已知定点，直线交轴于点，记过点且与直线相切的圆的圆心为点．

(I)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)设倾斜角为的直线过点，交轨迹于两点 ，交直线于点.若，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(I)

(Ⅱ) |PR|·|QR|的最小值为16

【解析】本试题主要是考查了抛物线的方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用。

（1）连CA，过C作CD⊥l₁，垂足为D，由已知可得|CA|=|CD|，

∴点C的轨迹是以A为焦点，l₁为准线的抛物线，

（2）设直线l₂的方程为y=kx+1，

把直线方程与抛物线方程联立消去y得 x²-4kx-4=0.

结合韦达定理来表示关系式，以向量的数量积来表示模长的积，得到结论。

解法一：(Ⅰ)连CA，过C作CD⊥l₁，垂足为D，由已知可得|CA|=|CD|，

∴点C的轨迹是以A为焦点，l₁为准线的抛物线，

∴轨迹E的方程为                  ………6分

(Ⅱ)设直线l₂的方程为，与抛物线方程联立消去y得x²-4kx-4=0．

记P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则.

因为直线PA的斜率k≠O，易得点R的坐标为 .

|PR|·|QR|=·＝（x₁+，y₁+1）·（x₂+，y₂+1）

=（x₁+）（x₂+）+（kx₁+2 ）（kx₂+ 2）

=(1+k²) x₁ x₂+(+2 k)( x₁+x₂)+ +4

= -4(1+k²)+4k(+2k)+ +4

=4(k²+)+8，

∵k²+≥2，当且仅当k²=1时取到等号．

又α∈[,],k∈[,1],∴上述不等式中等号能取到．

从而|PR|·|QR|的最小值为16.           ………12分

解法二：(I)同解法一．

(Ⅱ)设直线l₂的方程为y=kx+1，

把直线方程与抛物线方程联立消去y得 x²-4kx-4=0.

记P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则.

PR|·|QR|=|x₁-x_R|·|x₂-x_R|

=(1+k²)·(x₁+)(x₂+)，

下同解法一．