Question

设f(n)＝1＋＋＋ ＋ (n∈N^*)．
求证：f(1)＋f(2)＋ ＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N^*)．

Answer 1

应用数学归纳法．

试题分析：①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2[1＋－1]＝1，
左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k时，结论成立，即
f(1)＋f(2)＋ ＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋ ＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
所以当n＝k＋1时结论仍然成立．
所以f(1)＋f(2)＋ ＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N^*)．
点评：中档题，利用数学归纳法，注意遵循“两步一结”。对数学式子变形能力要求较高。