Question

已知函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（1）求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x≥0时，f（x）≥2ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数研究函数在x=2处的导数，得到切线的斜率，然后根据点斜式可得切线方程；
（2）令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，使最大值小于等于0，可求出a的取值范围；

解答：解：（1）∵f（0）=0，∴P（0，0）
∴f'（x）=2ln（2x+1）+2，∴f'（0）=2                         2分
所以，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=2x           …4分
（2）令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，
对函数g（x）求导数：g′（x）=2ln（2x+1）+2-2a
令g′（x）=0，解得x=

ea-1-1

2

，…6分
（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f（x）≥2ax．                    …8分
（ii）当a＞1时，对于0＜x＜

ea-1-1

2

，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，

ea-1-1

2

）是减函数，
又g（0）=0，所以对0＜x＜

ea-1-1

2

，都有g（x）＜g（0），10分
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥2ax成立．
综上，a的取值范围是（-∞，1]．                               …12分．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中档题．