Question

【题目】已知椭圆E： 的左、右焦点分别为F1、F2 ， 离心率 ，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆 内，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，

又a2=b2+c2，且 ，

联立解得： ，c=1．

∴椭圆的标准方程为 ；

（Ⅱ）联立 ，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0．

则△=16m2﹣12（2m2﹣2）=8（﹣m2+3）＞0，解得 ．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，

，即AB的中点为（ ）．

又AB的中点不在圆 内，

∴ ，解得：m≤﹣1或m≥1．

综上可知， 或1

【解析】（Ⅰ）由已知列出关于a、b、c的方程，联立方程求得a、b的值进而求出椭圆的方程。（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求得AB中点的坐标，再由AB的中点不在圆内结合判别式可求得m的取值范围。