Question

【题目】已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an﹣1+3an﹣2 ， （n≥3） （Ⅰ）证明数列{an﹣3an﹣1}成等比数列，并求数{an}列的通项公式an；
（Ⅱ）若数列bn= （an+1+an），求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an=2an﹣1+3an﹣2（n≥3）， ∴an+an﹣1=3（an﹣1+an﹣2），
又∵a2+a1=2+5=7，
∴数列{an+1+an}是以7为首项、3为公比的等比数列，
∴an+1+an=73n﹣1；
∵an=2an﹣1+3an﹣2（n≥3），
∴an﹣3an﹣1=﹣（an﹣1﹣3an﹣2），
又∵a2﹣3a1=2﹣35=﹣13，
∴数列{an+1﹣3an}是以﹣13为首项、﹣1为公比的等比数列，
∴an+1﹣3an=﹣13（﹣1）n﹣1；
∴an= ×（﹣1）n﹣1+ ×3n﹣1 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得an+1+an=73n﹣1 ，
∴bn= （an+1+an）=（2n﹣1）×3n﹣1 ，
∴Sn=1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）×3n﹣1 ，
∴3Sn=1×31+3×32+5×33+…+（2n﹣3）×3n﹣1+（2n﹣1）×3n ，
∴﹣2Sn=1+2（31+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）×3n=1+2× ﹣（2n﹣1）×3n=﹣2﹣（2n﹣2）3n ，
∴Sn=（n﹣1）3n+1
【解析】（Ⅰ）通过an=2an﹣1+3an﹣2（n≥3）变形为an+λan﹣1=m（an﹣1+λan﹣2）形式计算可求．（Ⅱ）bn= （an+1+an）=（2n﹣1）×3n﹣1 ， 再利用错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和Sn ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．