Question

已知P（m，1）为抛物线C：x²=2ay（a＞0）上一点，点P到抛物线焦点的距离为．
（Ⅰ）求m，a的值；
（Ⅱ）设抛物线上一点B的横坐标为t（t＞0），过B的直线交曲线C于另一点A，交x轴于N，过点A作AB的垂线交曲线C于D，连接DB交y于M，若直线MN的斜率是AB斜率的倍，求t的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）根据抛物线定义，∵P到抛物线焦点的距离为．
∴P（m，1）到抛物线准线y=-的距离为．
∴，解得a=，
∴抛物线方程为x²=y，
将P（m，1）代入x²=y，
解得m=±1．
（Ⅱ）∵B的横坐标为t（t＞0），∴B（t，t²），
设直线AB的方程为：y-t²=k（x-t），
把直线AB的方程y-t²=k（x-t）代入抛物线x²=y，并整理，得
x²-kx+kt-t²=0，
解得x=k-t，或x=t（舍）
∴A（k-t，（k-t）²），
∵AD⊥AB，
∴直线AD的方程为，
把代入代入抛物线x²=y，并整理，得
kx²+x-（k-t）（1+k²-kt）=0，
解得，或x_D=k-t（舍）
∵B（t，t²），D（t-（k+），[t-（k+）]²），
∴BD的方程为：=2t-（k+），
令x=0，得到BD与y轴的交点坐标M（0，t（k+）-t²），
在直线AB的方程y-t²=k（x-t）中，
令y=0，得到直线AB与x轴的交点N（t-，0），
∴直线MN的斜率k_MN==．
∵直线AB的斜率是k，且直线MN的斜率是AB斜率的倍，
∴=-，
整理，得k²-kt+2=0，
∴，
由题设条件知k＞0，
∴≥=2．
当且仅当，即k=时，．
分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义利用点P（m，1）到其焦点的距离求得a，抛物线方程可得，进而把点P代入求得m．
（Ⅱ）由B（t，t²），设直线AB的方程为：y-t²=k（x-t），把直线AB的方程y-t²=k（x-t）代入抛物线x²=y，解得A（k-t，（k-t）²），由AD⊥AB，设直线AD的方程为，把代入代入抛物线x²=y，解得，由B（t，t²），D（t-（k+），[t-（k+）]²），则BD的方程为：=2t-（k+），令x=0，得到BD与y轴的交点坐标M（0，t（k+）-t²），由此能求出利用直线MN的斜率是AB斜率的倍，能求出t的最小值．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养计算能力．