Question

（2012•重庆）设f(x)=alnx+

1

2x

+

3

2

x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f(x)=-lnx+

1

2x

+

3

2

x+1（x＞0），f′(x)=

-1

x

-

1

2x2

+

3

2

=

(3x+1)(x-1)

2x2

，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．

解答：解：（Ⅰ） 求导函数可得f′(x)=

a

x

-

1

2x2

+

3

2

∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
∴f′（1）=0，∴a-

1

2

+

3

2

=0，
∴a=-1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f(x)=-lnx+

1

2x

+

3

2

x+1（x＞0）
f′(x)=

-1

x

-

1

2x2

+

3

2

=

(3x+1)(x-1)

2x2

令f′（x）=0，可得x=1或x=-

1

3

（舍去）
∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值，正确求导是关键．