Question

【题目】如图（1），在平面四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，AB中点为F，，，，沿BD将折起，使C至位置，如图（2）.

（1）求证：；

（2）当平面平面ABD时，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）折叠过程中，保持不变，又由线面垂直，从而得证线线垂直。

（2）由两平面垂直可得两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，由线面角的向量法求解。

（1）∵，

∴平面，而平面，

∴。

（2）由（1）知是二面角的平面角，

又平面平面ABD，∴，即，

分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，

在四边形中，∵，∴，，，

∴，是中点，∴

，，，

设平面的法向量为，则

，即，则，，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为。