Question

在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线y=e^x以及该曲线在x=a（a≥1）处的切线所围成图形的面积是（　　）

• A、e^a
• B、e^a-1
• C、

  1

  2

  e^a
• D、

  1

  2

  e^a-1

Answer 1

分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=a处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，然后求出与坐标轴的交点坐标，最后利用所围成图形的面积等于曲边梯形ODBC的面积减去△ADB的面积，利用定积分求出曲边梯形ODBC的面积，即可求出所求．

解答：解：∵y=e^x，∴y′=e^x，故曲线y=e^x在x=a处的斜率为e^a，切线方程为y-e^a=e^a（x-a），
令y=0得x=a-1≥0．如图所示，点A（a-1，0），D（a，0），，B（a，e^a），两坐标轴的正半轴，
曲线y=e^x以及该曲线在x=a（a≥1）处的切线所围成图形的面积等于曲边形ODBC的面积减去△ADB的面积，
曲边形ODBC的面积为∫₀^ae^xdx=e^a-1，△ADB的面积为

1

2

|AD|．|DB|=

1

2

×[a-（a-1）]e^a=

1

2

e^a，
故所求的面积为e^a-1-

1

2

e^a=

1

2

e^a-1．
故选D

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及定积分的应用，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．