Question

（2013•昌平区一模）已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（

2

，1）在椭圆M上．直线l的斜率为

2

2

，且与椭圆M交于B、C两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．

解答：解：（Ⅰ）由题意知

2 a2 + 1 b2 =1 a=2

，解得b=

2

．
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ） 设直线l的方程为y=

2

2

x+m，则m≠0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入椭圆方程并化简得x2+

2

mx+m2-2=0，
由△=2m²-4（m²-2）=2（4-m²）＞0，可得0＜m²＜4①．
由①，得x1=

- 2 m- 2(4-m2)

2

，x2=

- 2 m+ 2(4-m2)

2

，
故|BC|=

1+( 2 2 )2

|x1-x2|=

3 2

×

2(4-m2)

=

3(4-m2)

．
又点A到BC的距离为d=

|2m|

6

，
故S△ABC=

1

2

|BC|•d=

1

2

3(4-m2)

×

|2m|

6

=

1

2

×

(4-m2)m2

≤

1

2

×

m2+(4-m2)

2

=

2

，
当且仅当m²=4-m²，即m=±

2

时取等号，满足①式．
所以△ABC面积的最大值为

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了弦长公式的用法，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，属难题．